Как рассчитать объем различных геометрических тел?

В курсе стереометрии один из главных вопросов - как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.

В жизни тоже часто приходится сталкиваться с подобными задачами. Например, чтобы рассчитать объем воды, которая помещается в ведро или бочку.

Свойства, справедливые для объема каждого тела

1. Это значение - всегда положительное число.
2. Если тело удается разделить на части так, чтобы не было пересечений, то общий объем оказывается равным сумме объемов частей.
3. У равных тел одинаковые объемы.
4. Если меньшее тело полностью помещается в большем, то объем первого меньше, чем второго.

Общие обозначения для всех тел

В каждом из них есть ребра и основания, в них строятся высоты. Поэтому такие элементы для них одинаково обозначены. Именно так они записаны в формулах. Как рассчитать объем каждого из тел - узнаем дальше и применим на практике новые умения.

В некоторых формулах имеются другие величины. Об их обозначении будет сказано при появлении такой необходимости.

Призма, параллелепипед (прямой и наклонный) и куб

Эти тела объединены, потому что внешне очень похожи, и формулы того, как рассчитать объем, идентичны:

V = S₀ * h.

Различаться будет только S₀. В случае с параллелепипедом она рассчитывается, как для прямоугольника или квадрата. В призме основанием может оказаться треугольник, параллелограмм, произвольный четырехугольник или другой многоугольник.

Для куба формула существенно упрощается, потому что все его измерения равны:

V = а³.

Пирамида, тетраэдр, усеченная пирамида

Для первого из указанных тел существует такая формула, чтобы вычислить объем:

V = 1/3 * S₀ * н.

Тетраэдр является частным случаем треугольной пирамиды. В нем все ребра равны. Поэтому снова получается упрощенная формула:

V = (а³ * √2) / 12, или V = ^1/₃ S₀ h

Усеченной пирамида становится тогда, когда у нее срезана верхняя часть. Поэтому ее объем равен разности двух пирамид: той, которая была бы целой, и удаленной верхушки. Если есть возможность узнать оба основания такой пирамиды (S₁ — большее и S₂ — меньшее), то удобно пользоваться такой формулой для расчета объема:

V = 1/3 * h * (S₁ + √(S₁S₂) + S₂).

Цилиндр, конус и усеченный конус

Если требуется рассчитать объем цилиндра, можно воспользоваться формулой, которая указана для призмы. Иногда удобно записать ее в таком виде:

V =π * r² * h.

Несколько сложнее обстоит дело с конусом. Для него существует формула:

V = 1/3 π * r² * h. Она очень похожа на ту, что указана для цилиндра, только значение уменьшено в три раза.

Так же, как с усеченной пирамидой, дело обстоит непросто с конусом, который имеет два основания. Формула для вычисления объема усеченного конуса выглядит так:

V = 1/3 π * h * (r₁² + r₁r₂ + r₂²). Здесь r₁ — радиус нижнего основания, r₂ — верхнего (меньшего).

Шар, шаровые сегменты и сектор

Это самые сложные для запоминания формулы. Для объема шара она выглядит так:

V = 4/3 π *r³.

В задачах часто есть вопрос о том, как рассчитать объем шарового сегмента — части сферы, которая как бы срезана параллельно диаметру. В этом случае на выручку придет такая формула:

V = π h² * (r - h/3). В ней за h взята высота сегмента, то есть та часть, которая идет по радиусу шара.

Сектор делится на две части: конус и шаровой сегмент. Поэтому его объем определяется как сумма этих тел. Формула после преобразований выглядит так:

V = 2/3 πr² * h. Здесь h также высота сегмента.

Примеры задач

Про объемы цилиндра, шара и конуса

Условие: диаметр цилиндра (1 тело) равен его высоте, диаметру шара (2 тело) и высоте конуса (3 тело); проверить пропорциональность объемов V₁ : V₂ : V₃ = 3:2:1

Решение. Сначала потребуется записать три формулы для объемов. Потом учесть, что радиус — это половина диаметра. То есть высота будет равна двум радиусам: h = 2r. Произведя простую замену получается, что формулы для объемов будут иметь такой вид:

V₁ = 2 π r³; V₃ = 2/3 π r³. Формула для объема шара не изменяется, потому что в ней не фигурирует высота.

Теперь осталось записать отношения объемов и произвести сокращение 2π и r³. Получается, что V₁ : V₂ : V₃ = 1 : 2/3 : 1/3. Эти числа легко привести к записи 3 : 2 : 1.

Ответ. V₁ : V₂ : V₃ = 3 : 2 : 1.

Про объем шара

Условие: имеется два арбуза радиусами 15 и 20 см; как их выгоднее съесть: первый вчетвером или второй ввосьмером?

Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется найти отношение объемов частей, которые достанутся от каждого арбуза. Принимая во внимание, что они — шары, нужно записать две формулы для объемов. Потом учесть, что от первого каждому достанется только четвертая часть, а от второго - восьмая.

Осталось записать отношение объемов частей. Оно будет выглядеть так:

(V₁ : 4) / (V₂ : 8) = (1/3 π r₁³) / (1/6 π r₂³). После преобразования остается только дробь: (2 r₁³) / r₂³. После подстановки значений и вычисления получается дробь 6750/8000. Из нее ясно, что часть от первого арбуза будет меньше, чем от второго.

Ответ. Выгоднее съесть восьмую часть от арбуза с радиусом 20 см.

Про объемы пирамиды и куба

Условие: имеется пирамида из глины с прямоугольным основанием 8Х9 см и высотой 9 см; из этого же куска глины сделали куб; чему равно его ребро?

Решение. Если обозначить стороны прямоугольника буквами в и с, то площадь основания пирамиды вычисляется, как их произведение. Тогда формула для ее объема:

V₁= 1/3 * вс * h.

Формула для объема куба написана в статье выше. Эти два значения равны: V₁ = V₂. Осталось приравнять правые части формул и сделать необходимые вычисления. Получается, что ребро куба будет равно 6 см.

Ответ. а = 6 см.

Про объем параллелепипеда

Условие: требуется сделать ящик вместимостью 0,96 м³, известны его ширина и длина - 1,2 и 0,8 метра; какой должна быть его высота?

Решение. Поскольку основание параллелепипеда - прямоугольник, его площадь определяется как произведение длины (а) на ширину (в). Поэтому формула для объема выглядит так:

V = а * в * н.

Из нее легко определить высоту, разделив объем на площадь. Получится, что высота должна быть равна 1 м.

Ответ. Высота ящика равна одному метру.