Все формулы объемов геометрических тел
1. Расчет объема куба
a – сторона куба
Формула объема куба, (V):
2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда
a , b , c – стороны параллелепипеда
Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.
Формула объема параллелепипеда, (V):
3. Формула для вычисления объема шара, сферы
R – радиус шара
По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):
4. Как вычислить объем цилиндра ?
h – высота цилиндра
r – радиус основания
По формуле найти объема цилиндра, есди известны – его радиус основания и высота, (V):
5. Как найти объем конуса ?
R – радиус основания
H – высота конуса
Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):
7. Формула объема усеченного конуса
r – радиус верхнего основания
R – радиус нижнего основания
h – высота конуса
Формула объема усеченного конуса, если известны – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):
8. Объем правильного тетраэдра
Правильный тетраэдр – пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а – ребро тетраэдра
Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):
9. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
a – сторона основания
h – высота пирамиды
Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):
10. Объем правильной треугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
a – сторона основания
h – высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны – высота и сторона основания (V):
11. Найти объем правильной пирамиды
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h – высота пирамиды
a – сторона основания пирамиды
n – количество сторон многоугольника в основании
Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):
Все формулы объемов геометрических тел
Геометрия, Алгебра, Физика
Источник: www-formula.ru
Формулы объема
Объём геометрической фигуры – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
Формула объема куба
1) Объем куба равен кубу его ребра.
V – объем куба
H – высота ребра куба
Формула объема пирамиды
1) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCD) на высоту h (OS).
V – объем пирамиды
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формулы объема конуса
1) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
2) Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.
V – объем конуса
S – площадь основания конуса
h – высота конуса
π – число пи (3.1415)
r – радиус конуса
Формулы объема цилиндра
1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
2) Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.
V – объем цилиндра
S – площадь основания цилиндра
h – высота цилиндра
π – число пи (3.1415)
r – радиус цилиндра
Формула объема шара
1) Объем шара вычисляется по приведенной ниже формуле.
V – объем шара
π – число пи (3.1415)
R – радиус шара
Формула объема тетраэдра
1) Объем тетраэдра равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух помноженный на куб длины ребра тетраэдра, а в знаменателе двенадцать.
Формулы объема
Формулы объема и онлайн программы для вычисления объема
Источник: www.webmath.ru
Формула объема.
Формула объема необходима для вычисления параметров и характеристик геометрической фигуры.
Объем фигуры – это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
Параллелепипед.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Цилиндр.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.
Пирамида.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).
Правильная пирамида — это пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.
Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.
Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.
Тетраэдр — это пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.
Усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
Куб.
Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 .
Конус — это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.
V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2 )
Шар.
Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
Призма.
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Сектор шара.
Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.
Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.
Сегмент шара – это часть шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом
Формула объема
Формула объема куба, шара, пирамиды, параллелограмма, цилиндра, тетраэдра, конуса, призмы и объемы других геометрических фигур.
Источник: www.calc.ru
Как рассчитать объем различных геометрических тел?
В курсе стереометрии один из главных вопросов – как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.
В жизни тоже часто приходится сталкиваться с подобными задачами. Например, чтобы рассчитать объем воды, которая помещается в ведро или бочку.
Свойства, справедливые для объема каждого тела
- Это значение – всегда положительное число.
- Если тело удается разделить на части так, чтобы не было пересечений, то общий объем оказывается равным сумме объемов частей.
- У равных тел одинаковые объемы.
- Если меньшее тело полностью помещается в большем, то объем первого меньше, чем второго.
Общие обозначения для всех тел
В каждом из них есть ребра и основания, в них строятся высоты. Поэтому такие элементы для них одинаково обозначены. Именно так они записаны в формулах. Как рассчитать объем каждого из тел – узнаем дальше и применим на практике новые умения.
В некоторых формулах имеются другие величины. Об их обозначении будет сказано при появлении такой необходимости.
Призма, параллелепипед (прямой и наклонный) и куб
Эти тела объединены, потому что внешне очень похожи, и формулы того, как рассчитать объем, идентичны:
V = S * h.
Различаться будет только S. В случае с параллелепипедом она рассчитывается, как для прямоугольника или квадрата. В призме основанием может оказаться треугольник, параллелограмм, произвольный четырехугольник или другой многоугольник.
Для куба формула существенно упрощается, потому что все его измерения равны:
V = а 3 .
Пирамида, тетраэдр, усеченная пирамида
Для первого из указанных тел существует такая формула, чтобы вычислить объем:
V = 1/3 * S * н.
Тетраэдр является частным случаем треугольной пирамиды. В нем все ребра равны. Поэтому снова получается упрощенная формула:
V = (а 3 * √2) / 12, или V = 1/3 S h
Усеченной пирамида становится тогда, когда у нее срезана верхняя часть. Поэтому ее объем равен разности двух пирамид: той, которая была бы целой, и удаленной верхушки. Если есть возможность узнать оба основания такой пирамиды (S1 — большее и S2 — меньшее), то удобно пользоваться такой формулой для расчета объема:
Цилиндр, конус и усеченный конус
Если требуется рассчитать объем цилиндра, можно воспользоваться формулой, которая указана для призмы. Иногда удобно записать ее в таком виде:
V =π * r 2 * h.
Несколько сложнее обстоит дело с конусом. Для него существует формула:
V = 1/3 π * r 2 * h. Она очень похожа на ту, что указана для цилиндра, только значение уменьшено в три раза.
Так же, как с усеченной пирамидой, дело обстоит непросто с конусом, который имеет два основания. Формула для вычисления объема усеченного конуса выглядит так:
V = 1/3 π * h * (r1 2 + r1r2 + r2 2 ). Здесь r1 — радиус нижнего основания, r2 — верхнего (меньшего).
Шар, шаровые сегменты и сектор
Это самые сложные для запоминания формулы. Для объема шара она выглядит так:
V = 4/3 π *r 3 .
В задачах часто есть вопрос о том, как рассчитать объем шарового сегмента — части сферы, которая как бы срезана параллельно диаметру. В этом случае на выручку придет такая формула:
V = π h 2 * (r – h/3). В ней за h взята высота сегмента, то есть та часть, которая идет по радиусу шара.
Сектор делится на две части: конус и шаровой сегмент. Поэтому его объем определяется как сумма этих тел. Формула после преобразований выглядит так:
V = 2/3 πr 2 * h. Здесь h также высота сегмента.
Примеры задач
Про объемы цилиндра, шара и конуса
Условие: диаметр цилиндра (1 тело) равен его высоте, диаметру шара (2 тело) и высоте конуса (3 тело), проверить пропорциональность объемов V1 : V2 : V3 = 3:2:1
Решение. Сначала потребуется записать три формулы для объемов. Потом учесть, что радиус — это половина диаметра. То есть высота будет равна двум радиусам: h = 2r. Произведя простую замену получается, что формулы для объемов будут иметь такой вид:
V1 = 2 π r 3 , V3 = 2/3 π r 3 . Формула для объема шара не изменяется, потому что в ней не фигурирует высота.
Теперь осталось записать отношения объемов и произвести сокращение 2π и r 3 . Получается, что V1 : V2 : V3 = 1 : 2/3 : 1/3. Эти числа легко привести к записи 3 : 2 : 1.
Про объем шара
Условие: имеется два арбуза радиусами 15 и 20 см, как их выгоднее съесть: первый вчетвером или второй ввосьмером?
Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется найти отношение объемов частей, которые достанутся от каждого арбуза. Принимая во внимание, что они — шары, нужно записать две формулы для объемов. Потом учесть, что от первого каждому достанется только четвертая часть, а от второго – восьмая.
Осталось записать отношение объемов частей. Оно будет выглядеть так:
(V1 : 4) / (V2 : 8) = (1/3 π r1 3 ) / (1/6 π r2 3 ). После преобразования остается только дробь: (2 r1 3 ) / r2 3 . После подстановки значений и вычисления получается дробь 6750/8000. Из нее ясно, что часть от первого арбуза будет меньше, чем от второго.
Ответ. Выгоднее съесть восьмую часть от арбуза с радиусом 20 см.
Про объемы пирамиды и куба
Условие: имеется пирамида из глины с прямоугольным основанием 8Х9 см и высотой 9 см, из этого же куска глины сделали куб, чему равно его ребро?
Решение. Если обозначить стороны прямоугольника буквами в и с, то площадь основания пирамиды вычисляется, как их произведение. Тогда формула для ее объема:
Формула для объема куба написана в статье выше. Эти два значения равны: V1 = V2. Осталось приравнять правые части формул и сделать необходимые вычисления. Получается, что ребро куба будет равно 6 см.
Про объем параллелепипеда
Условие: требуется сделать ящик вместимостью 0,96 м 3 , известны его ширина и длина – 1,2 и 0,8 метра, какой должна быть его высота?
Решение. Поскольку основание параллелепипеда – прямоугольник, его площадь определяется как произведение длины (а) на ширину (в). Поэтому формула для объема выглядит так:
Из нее легко определить высоту, разделив объем на площадь. Получится, что высота должна быть равна 1 м.
Ответ. Высота ящика равна одному метру.
Как рассчитать объем различных геометрических тел?
В курсе стереометрии одна из главных задач – как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.
Источник: www.syl.ru
Как рассчитать объем емкости различной формы
Резервуары и цистерны используются для перевозки и хранения различных видов топлива, нефти, воды и газа, некоторых строительных материалов, химических веществ, а также пищевых продуктов. Многие не знают, как рассчитать объем емкости, ведь они могут иметь различную геометрическую форму:
- Конуса,
- Цилиндра,
- Сферы,
- Прямоугольного параллелепипеда.
В нашей статье ознакомимся с нюансами расчёта для конкретных геометрических тел.
Как узнать объём прямоугольной тары
В сфере строительства все показатели объёма приведены к конкретным величинам. Расчёты могут проводиться в литрах или дм 3 , но чаще всего для определения количества того или иного материала используются кубические метры. Как рассчитать кубатуру самых простых прямоугольных ёмкостей опишем дальше на конкретном примере.
Для работы нам понадобится тара, строительная рулетка и блокнот с ручкой или карандашом для проведения вычислений. Из курса геометрии известно, что объём подобных тел вычисляется умножением длины, ширины и высоты изделия. Формула расчётов сводится к следующему
V=a*b*c, где a, b и с – стороны тары.
Например, длина нашего изделия равняется 150 сантиметрам, ширина 80 сантиметрам, высота 50 сантиметров. Для правильного подсчёта кубатуры указанные величины переводим в метры и проводим необходимые расчёты V=1,5*0,8*0,5=0,6м3.
Как определить объём сферического изделия
Сферические изделия встречаются в нашей жизни почти каждый день. Это может быть элемент подшипника, футбольный мяч или пишущая часть шариковой ручки. В некоторых случаях нам необходимо узнать, как рассчитать кубатуру сферы для определения количества жидкости в ней.
Как утверждают эксперты, для вычисления объёма этой фигуры используется формула V=4/3ԉr3, где:
- V – подсчитываемый объём детали,
- R- радиус сферы,
- ԉ – постоянная величина, которая равняется 3,14.
Для проведения необходимых вычислений нам нужно взять рулетку, зафиксировать начало измерительной шкалы и провести замер, причём лента рулетки должна проходить по экваторe шара. После этого узнают диаметр детали, поделив размер на число ԉ.
А теперь ознакомимся с конкретным примером вычисления для сферы, если её длина по окружности равняется 2,5 метрам. Сначала определим диаметр 2,5/3,14=0,8 метра. Теперь подставляем это значение в формулу:
Как вычислить объём цистерны выполненной в виде цилиндра
Подобные геометрические фигуры используются для хранения пищевых продуктов, транспортирования топлива и других целей. Многие не знают, как рассчитать объем воды, но основные нюансы такого процесса опишем дальше в нашей статье.
Высоту жидкости в цилиндрической ёмкости определяют по специальному устройству метрштоку. В данном случае емкость цистерны вычисляется по специальным таблицам. Изделия со специальными таблицами измерения объёма в жизни встречаются редко, поэтому подойдём к решению проблемы другим путём и опишем, как рассчитать объём цилиндра по специальной формуле – V=S*L, где
- V- объём геометрического тела,
- S – площадь сечения изделия в конкретных единицах измерения (м³),
- L – длина цистерны.
Показатель L можно измерить при помощи всё той же рулетки, но площадь сечения цилиндра придётся считать. Показатель S вычисляют по формуле S=3,14*d*d/4, где d – диаметр окружности цилиндра.
А теперь ознакомимся с конкретным примером. Допустим, длина нашей цистерны имеет значение 5 метров, её диаметр 2,8 метра. Сначала вычислим площадь сечения геометрической фигуры S= 3,14*2,8*2,8/4=6,15м. А теперь можно приступать к вычислению объёма цистерны 6,15*5= 30,75 м³.
Как рассчитать объем емкости различной формы
Подробно о том, как самостоятельно рассчитать объем емкости различной формы. Расчет кубатуры емкости. Как определить объём сферического изделия.
Источник: stroysoveti.ru
Станьте первым!